تعیین سریع مدار دینامیکی ماهواره‌های LEO با استفاده از تقریب چندجمله‌ای‌های لژاندر

مسئله تعیین مدار دینامیکی یک ماهواره چیزی جز حل یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو نیست که امروزه این معادله به علت دقت زیاد روش‌های عددی، به‌صورت عددی حل می‌شود. علی‌رغم پیشرفت رایانه‌ها و فنون محاسباتی، انتگرال‌گیری مدار همچنان از فرایندهای زمان‌بر در ژئودزی ماهواره‌ای به حساب می‌آید. علت این مسئله لزوم محاسبه شتاب به صورت نقطه‌‌به‌‌نقطه است. اگرچه می‌توان با استفاده از فنون برداری‌‌سازی (Vectorize) در محاسبه شتاب، سرعت اجرای برنامه را تا حد زیادی بهبود داد، اما امکان استفاده از این فن برای محاسبه چندجمله‌ای‌های لژاندر، به‌دلیل وجود رابطه بازگشتی بین آنها و لزوم محاسبه مرحله‌‌به‌‌مرحله وجود نخواهد داشت. در این مقاله نشان داده خواهد شد که با استفاده از روش‌های تقریب می‌توان به برآورد دقیقی از چندجمله‌ای‌های لژاندر در نقاط دلخواه دست پیدا کرد و با استفاده از این چندجمله‌ای‌های تقریب زده شده در فرایند انتگرال‌گیری سرعت برنامه را چندین برابر افزایش داد. برای تقریب توابع لژاندر در بازه‌های کوتاه می‌توان از چندجمله‌ای‌های مرتبه پایین‌تر استفاده کرد که برای یافتن ضرایب این چندجمله‌ای مرتبه پایین می‌توان علاوه بر مقدار چندجمله‌ای‌های لژاندر، در نقاط معلوم از مشتقات مرتبه اول و دوم آن نیز استفاده کرد. با ورود مشتقات چندجمله‌ای‌های لژاندر به مسئله، دقت روش تقریب انتگرال‌گیری مدار ماهواره‌های کم‌‌ارتفاع (LEO) که دارای بیشترین اغتشاش هستند در یک بازه زمانی دو هفته‌ای زیر یک میلی‌متر خواهد بود.